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    6．如图所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，若CD1垂直于平面ABCD，且$C{D_1}=\sqrt{3}$，M是线段AB的中点．
    （1）求证：BC⊥AD1；
    （2）设N是线段AC上的一个动点，问当$\frac{CN}{AC}$的值为多少时，可使得D1N与平面C1D1M所成角的正弦值为$\frac{1}{5}$，并证明你的结论．

    分析 （1）连接AC，推导出AC⊥BC，BC⊥CD1，从而BC⊥面ACD1，由此能证明BC⊥AD1．
    （2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当$\frac{CN}{AC}$=$\frac{1}{2}$时，使得D1N与平面C1D1M所成角的正弦值为$\frac{1}{5}$．

    解答 证明：（1）连接AC，在△ABC中，AB=2，AC=$\sqrt{3}$，BC=1，
    ∵BC2+AC2=AB2，∴AC⊥BC，
    又∵CD1⊥面ABCD，BC?面ABCD，∴BC⊥CD1，
    又AC∩CD1=C，AC?面ACD1，CD1?面ACD1，
    ∴BC⊥面ACD1，
    ∵AD1?面ACD1，∴BC⊥AD1．
    解：（2）当$\frac{CN}{AC}$=$\frac{1}{2}$时，使得D1N与平面C1D1M所成角的正弦值为$\frac{1}{5}$．
    证明如下：
    以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CD1为z轴，建立空间直角坐标系．
    C（0，0，0），A（$\sqrt{3}，0，0$），B（0，1，0），M（$\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{1}{2}，0$），D1（0，0，$\sqrt{3}$），
    由$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=$\overrightarrow{D{D}_{1}}$，得C1（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$），
    设N（a，0，0），（0＜a＜$\sqrt{3}$），
    设面的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
    则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{C}_{1}{D}_{1}}•\overrightarrow{m}=0}\\{\overrightarrow{{C}_{1}M}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{z=x}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，1），
    $\overrightarrow{{D}_{1}N}$=（a，0，-$\sqrt{3}$），
    由题意|cos＜$\overrightarrow{{D}_{1}N}$，$\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{|a-\sqrt{3}|}{\sqrt{{a}^{2}+3}•\sqrt{5}}$=$\frac{1}{5}$，]
    解得a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$或a=2$\sqrt{3}$（舍），
    ∴当$\frac{CN}{AC}$=$\frac{1}{2}$时，使得D1N与平面C1D1M所成角的正弦值为$\frac{1}{5}$．

    点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

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