Question

10．已知函数f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，若不等式f（-2m²+2m-1）+f（8m+e^k）＞0（e是自然对数的底数），对任意的m∈[-2，4]恒成立，则整数k的最小值是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化，利用参数分离法，转化求函数的最值即可．

解答 解：∵f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数，
函数f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$．定义域为R，函数f（x）在R上是增函数．
证明：设x₁，x₂是R内任意两个值，且x₁＜x₂．
则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{{2^{x_1}}-1}}{{{2^{x_1}}+1}}-\frac{{{2^{x_2}}-1}}{{{2^{x_2}}+1}}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$①．
又因为x₁＜x₂，所以${2}^{{x}_{1}}＜{2}^{{x}_{2}}$，又${2}^{{x}_{1}}+1＞0，{2}^{{x}_{2}}+1＞0$．
所以①＜0，即f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
故f（x）是R上的增函数．
则不等式若不等式f（-2m²+2m-1）+f（8m+e^k）＞0等价为若不等式f（8m+e^k）＞-f（-2m²+2m-1）=f（2m²-2m+1），
即8m+e^k＞2m²-2m+1，
即e^k＞2m²-10m+1，
设g（m）=2m²-10m+1，则函数的对称轴为m=$-\frac{-10}{2×2}$=$\frac{5}{2}$，
则当m∈[-2，4]时，当m=-2时，函数g（m）取得最大值g（-2）=29，
即e^k＞g（m）_max=29，
则k＞ln29．
∵k是整数，
∴k的最小值是4，
故选：C．

点评 本题考查不等式恒成立问题，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．，利用转化法和参数分离法是解决不等式恒成立问题的思路．