Question

19．在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC是直角三角形，AC⊥CB，PA=2，CA=2$\sqrt{3}$，CB=2，E为BC的中点，CF⊥AB于点F，CF交AE于点M．
（1）求二面角P-CF-B的余弦值；
（2）求点M到平面PBC的距离．

Answer 1

分析 （1）∠PFB是二面角P-CF-B的平面角，求出PF，BF，PB，利用余弦定理求二面角P-CF-B的余弦值；
（2）利用等体积求点M到平面PBC的距离．

解答 解：（1）∵CF⊥AB于点F，PA⊥平面ABC，
∴∠PFB是二面角P-CF-B的平面角．
∵AC⊥CB，PA=2，CA=2$\sqrt{3}$，CB=2，
∴AB=4
由射影定理可得12=AF•4，∴AF=3，
∴BF=1，
又PF=$\sqrt{4+9}$=$\sqrt{13}$，PB=$\sqrt{4+16}$=$\sqrt{20}$，
∴二面角P-CF-B的余弦值=$\frac{13+1-20}{2×\sqrt{13}×1}$=-$\frac{3\sqrt{13}}{13}$；
（2）取FB中点O，连接EO，由（1）可知，CF=$\sqrt{3}$，则EO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，MF=$\frac{3\sqrt{3}}{7}$，∴S_△MBC=$\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{3}}{7}×1$=$\frac{2\sqrt{3}}{7}$
∵PA⊥平面ABC，AC⊥CB，
∴PC⊥CB，
∵PC=4，BC=2，∴S_△PBC=$\frac{1}{2}×4×2$=4，
设点M到平面PBC的距离为h，则$\frac{1}{3}×4×h$=$\frac{1}{3}×\frac{2\sqrt{3}}{7}×2$，
∴h=$\frac{\sqrt{3}}{7}$．

点评 本题考查二面角P-CF-B的余弦值，点M到平面PBC的距离的求解，考查余弦定理，等体积的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．