Question

12．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$-k（$\frac{2}{x}$+lnx），若x=2是函数f（x）的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为（　　）

• A． （-∞，e]
• B． [0，e]
• C． （-∞，e）
• D． [0，e）

Answer 1

分析 由f（x）的导函数形式可以看出，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$-k（$\frac{2}{x}$+lnx），
∴函数f（x）的定义域是（0，+∞）
∴f′（x）=$\frac{{e}^{x}{x}^{2}-2x{e}^{x}}{{x}^{4}}$-k（-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$）=$\frac{（{e}^{x}-kx）（x-2）}{{x}^{3}}$
∵x=2是函数f（x）的唯一一个极值点
∴x=2是导函数f′（x）=0的唯一根．
∴e^x-kx=0在（0，+∞）无变号零点，
令g（x）=e^x-kx
g′（x）=e^x-k
①k≤0时，g′（x）＞0恒成立．g（x）在（0，+∞）时单调递增的
g（x）的最小值为g（0）=1，g（x）=0无解
②k＞0时，g′（x）=0有解为：x=lnk
0＜x＜lnk时，g′（x）＜0，g（x）单调递减
lnk＜x时，g′（x）＞0，g（x）单调递增
∴g（x）的最小值为g（lnk）=k-klnk
∴k-klnk＞0
∴k＜e，
由y=e^x和y=ex图象，它们切于（1，e），
综上所述，k≤e．
故选C

点评 本题考查由函数的导函数确定极值问题．对参数需要进行讨论．