Question

2．如图，AB是圆O的直径，C为圆周上一点，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E．
（1）求证：AB•DE=BC•CE；
（2）若AB=8，BC=4，求线段AE的长．

Answer 1

分析 （1）连接BE，OC，OC∩BE=F，证明△EDC∽△BCA，即可证明AB•DE=BC•CE；
（2）证明四边形EFCD是矩形，△OBC是等边三角形，即可得出结论．

解答 （1）证明：连接BE，OC，AC，OC∩BE=F，则
∵CD是圆O的切线，
∴OC⊥l，
∵AD⊥l，∴AD∥OC，
∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BE，
∵AD⊥l，∴l∥BE，
∴∠DCE=∠CBE=∠CAB，
∵∠EDC=∠BCA=90°，
∴△EDC∽△BCA，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{CE}{DE}$，
∴AB•DE=BC•CE；
（2）解：由（1）可知四边形EFCD是矩形，
∴DE=CF，
∵圆O的直径AB=8，BC=4，
∴∠ABC=60°
∴△OBC是等边三角形，
∴∠EBA=30°，AE=4．

点评 本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．