Question

13．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱DC中点，AB=4，BB₁=BC=2．
（1）求线段B₁E的长；
（2）求点C₁到平面B₁ED₁的距离．

Answer 1

分析 （1）以A₁为原点，以A₁B₁所在直线为x轴，以A₁D₁所在直线为y轴，以A₁A所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出|$\overrightarrow{{B}_{1}E}$|．
（2）求出平面B₁ED₁的法向量，利用向量法能求出点C₁到平面B₁ED₁的距离．

解答 解：（1）以A₁为原点，以A₁B₁所在直线为x轴，以A₁D₁所在直线为y轴，以A₁A所在直线为z轴，
建立空间直角坐标系，则有B₁（4，0，0），D₁（0，2，0），D（0，2，2），
C（4，2，2），E（2，2，2），C₁（4，2，0），…（2分）
$\overrightarrow{{B}_{1}E}$=（-2，2，2），…（3分）
|$\overrightarrow{{B}_{1}E}$|=$\sqrt{（-2）^{2}+{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．…（5分）
（2）$\overrightarrow{{B}_{1}{D}_{1}}$=（-4，2，0），$\overrightarrow{{B}_{1}E}$=（-2，2，2），$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（0，2，0），
设平面B₁ED₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}{D}_{1}}=-4x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}E}=-2x+2y+2z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，2，-1），
∴点C₁到平面B₁ED₁的距离d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{6}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查线段长的求法，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．