Question

12．已知各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+2+2$\sqrt{{a}_{n}{a}_{n+2}}$=4a_n+1-a_n（n∈N^*），且a₁=1，a₂=4．
（1）证明：数列{$\sqrt{{a}_{n}}$}是等差数列；
（2）数列{$\frac{4n+2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前项n和为S_n，求证：S_n＜2．

Answer 1

分析 （1）通过关系式a_n+2+2$\sqrt{{a}_{n}{a}_{n+2}}$=4a_n+1-a_n（n∈N^*）计算出前几项的值，猜想通项公式，进而利用数学归纳法证明即可；
（2）通过（1）裂项可知$\frac{4n+2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=2[$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$]，进而并项相加、放缩即得结论．

解答 证明：（1）依题意，a₃+2$\sqrt{{a}_{3}}$=4×4-1，
整理得：（$\sqrt{{a}_{3}}$-3）（$\sqrt{{a}_{3}}$+5）=0，
解得：$\sqrt{{a}_{3}}$=3或$\sqrt{{a}_{3}}$=-5（舍），
又∵a₄+2$\sqrt{4{a}_{4}}$=4×3²-4，
∴a₄+4$\sqrt{{a}_{4}}$-32=0，
解得：$\sqrt{{a}_{4}}$=4或$\sqrt{{a}_{4}}$=-8（舍），
猜想：$\sqrt{{a}_{n}}$=n．
下面用数学归纳法来证明：
①当n=1时，结论显然成立；
②假设当n=k时，有$\sqrt{{a}_{k}}$=k，
则a_k+1+2$\sqrt{{a}_{k-1}•{a}_{k+1}}$=4a_k-a_k-1，
即a_k+1+2（k-1）$\sqrt{{a}_{k+1}}$-3k²-2k+1=0，
整理得：[$\sqrt{{a}_{k+1}}$-（k+1）][$\sqrt{{a}_{k+1}}$+（3k-1）]=0，
解得：$\sqrt{{a}_{k+1}}$=k+1或$\sqrt{{a}_{k+1}}$=-3k+1（舍），
即当n=k+1时结论成立；
由①②可知，$\sqrt{{a}_{n}}$=n，
于是数列{$\sqrt{{a}_{n}}$}是首项、公差均为1的等差数列；
（2）由（1）可知a_n=n²，
则$\frac{4n+2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{4n+2}{{n}^{2}•（n+1）^{2}}$=2[$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$]，
于是S_n=2[1-$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$-$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$]
=2[1-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$]
＜2．

点评 本题考查等差数列的证明及数列的前n项和的计算，考查数学归纳法，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．