Question

1．（1）已知：i^k=-i，k∈Z，-5＜k≤5求k的值；
（2）计酸S=i+2i²+3i³+…+2007i²⁰⁰⁷+2008i²⁰⁰⁸的值．
（3）计算（$\sqrt{3}$+i）⁶的值．

Answer 1

分析 （1）利用复数单位的幂运算之间求解即可．
（2）利用复数的幂运算求出一个周期内的数值，然后求解即可．
（3）利用复数的乘法化简求解即可．

解答 解：（1）∵i³=-i，复数的单位的幂运算的周期为4，∴由i^k=-i，k∈Z，-5＜k≤5，可得k=-1，3；
（2）S=i+2i²+3i³+…+2007i²⁰⁰⁷+2008i²⁰⁰⁸
=（i-2-3i+4）+（5i-6-7i+8）+…+（2005i-2006-2007i+2008i）
=502（2-2i）
=1004-1004i．
（3）（$\sqrt{3}$+i）⁶=（2-2$\sqrt{3}$i）³
=8（1-$\sqrt{3}$i）³
=8（1-$\sqrt{3}$i）²（1-$\sqrt{3}$i）
=16（1+$\sqrt{3}$i）（1-$\sqrt{3}$i）
=16×4
=64．

点评 本题考查复数的代数形式混合运算，数列求和，考查计算能力．