Question

11．已知$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，过O作直线AB的垂线，垂足为P，若|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，∠AOB=$\frac{π}{6}$，$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{a}$+y
$\overrightarrow{b}$，则x-y=-2．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{AB}$=0可得3x+y=0，再由余弦定理及三角形面积公式可得|$\overrightarrow{OP}$|=$\frac{3}{2}$，从而可得（x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$）•（x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$）=$\frac{9}{4}$，从而结合图象解得．

解答 解：$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$，
∵$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{AB}$=0，
∴（x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）=0，
∴x$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-x$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{b}$-y$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
即x•3•$\sqrt{3}$•cos$\frac{π}{6}$-9x+3y-y•3•$\sqrt{3}$•cos$\frac{π}{6}$=0，
故$\frac{9}{2}$x-9x+3y-$\frac{9}{2}$y=0，
故3x+y=0，
∵AB²=OA²+OB²-2OA•OB•cos$\frac{π}{6}$=3，
∴AB=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|•sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{OP}$|•$\sqrt{3}$，
即|$\overrightarrow{OP}$|=$\frac{3}{2}$，
即（x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$）•（x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$）=$\frac{9}{4}$，
即9x²+3y²+9xy=$\frac{9}{4}$，
结合图象可知，x＜0，
解得，x=-$\frac{1}{2}$，y=$\frac{3}{2}$，
故x-y=-2，
故答案为：-2．

点评 本题考查了平面向量与解三角形的综合应用，同时考查了数形结合的思想应用．