Question

15．如图直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠BAD=90°，AA₁=AB=2CD=4，AD=2，E、F、G分别是侧棱BB₁、C₁C、DD₁上的点，BE=2，DG=3．
（Ⅰ）若CF=2，求证：A₁，E，F，G四点共面；
（Ⅱ）若面EFG与面A₁ADD₁所成二面角（锐角）的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$，求CF长度．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若CF=2，建立空间坐标系，利用空间向量的基本定理即可证明A₁，E，F，G四点共面；
（Ⅱ）设CF=a，求出平面的法向量，利用向量法建立方程即可得到结论．

解答 解：∵直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠BAD=90°，
∴以A为坐标原点，AB，AD，AA₁，为x，y，z轴，建立空间坐标系如图：
∵AA₁=AB=2CD=4，AD=2，E、F、G分别是侧棱BB₁、C₁C、DD₁上的点，BE=2，DG=3．
∴A（0，0，0），B（4，0，0），D（0，2，0），C（2，2，0），E（4，0，2），G（0，2，3），A₁（0，0，4），
（Ⅰ）若CF=2，则F（2，2，2），
则$\overrightarrow{{A}_{1}F}$=（2，2，-2），$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（4，0，-2），$\overrightarrow{{A}_{1}G}$=（0，2，-1），
∵$\overrightarrow{{A}_{1}F}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{A}_{1}E}$+$\overrightarrow{{A}_{1}G}$，
∴A₁，E，F，G四点共面
（Ⅱ）设CF=a，则F（2，2，a），0≤a≤3，
则$\overrightarrow{EF}$=（-2，2，a-2），$\overrightarrow{EG}$=（-4，2，1），
则平面A₁ADD₁的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
设$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）为面EFG的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EF}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EG}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-2x+2y+（a-2）z=0}\\{-4x+2y+z=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{2x+（a-3）z=0}\\{-4x+2y+z=0}\end{array}\right.$
令z=1，则x=$\frac{3-a}{3}$，y=$\frac{9-4a}{6}$，
则$\overrightarrow{m}$=（$\frac{3-a}{3}$，$\frac{9-4a}{6}$，1），
∵面EFG与面A₁ADD₁所成二面角（锐角）的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{|\frac{3-a}{3}|}{\sqrt{（\frac{3-a}{3}）^{2}+（\frac{9-4a}{6}）^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
平方整理得4a²-48a+63=0，解得a=$\frac{3}{2}$或a=$\frac{21}{2}$（舍），
即CF的长度为$\frac{3}{2}$．

点评 本题综合考查空间四点共面的证明空间角的计算，涉及二面角的平面角，利用向量法是解决空间角常用的方法，考查的知识面较广，难度中等．