Question

10．已知正四棱牲ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面边长为3，侧棱长4，连CD₁，作C₁M⊥CD₁于M．
（1）求证：BD₁⊥平面A₁C₁M；
（2）求二面角C₁-A₁M-D₁的正切值．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的判定定理即可证明BD₁⊥平面A₁C₁M；
（2）根据二面角的定义先求出二面角的平面角，结合三角函数的关系即可求二面角C₁-A₁M-D₁的正切值．

解答 （1）证明：由题设条件可知，B₁D₁是BD₁在平面A₁C₁的射影，
由B₁D₁⊥A₁C₁得BD₁⊥A₁C₁．
又D₁C是BD₁在侧面DC₁的射影，
由MC₁⊥D₁C，得BD₁⊥MC₁．
因此有BD₁⊥平面A₁C₁M．
（2）解：由于C₁D₁⊥平面A₁D，作D₁N⊥A₁M，连C₁N，
则C₁N⊥A₁M，∠C₁ND₁是二面角C₁-A₁M-D₁的平面角，
在矩形DD₁C₁C中，$\frac{M{D}_{1}}{{D}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{{D}_{1}{C}_{1}}{C{C}_{1}}$，得MD=$\frac{9}{4}$．
在Rt△MD₁A₁中，D₁N=$\frac{M{D}_{1}•{A}_{1}{D}_{1}}{{A}_{1}M}$=$\frac{9}{5}$．
在Rt△D₁C₁N中，tan∠C₁ND₁=$\frac{{D}_{1}{C}_{1}}{{D}_{1}N}$=$\frac{5}{3}$
即二面角C₁-A₁M-D₁的正切值为$\frac{5}{3}$．

点评 本题主要考查线面垂直的证明以及二面角的求解，利用线面垂直的判定定理以及二面角的定义是解决本题的关键．