Question

16．已知动点P到定点F（p，0）和到直线x=-p（p＞0）的距离相等．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）经过点F的直线l交（Ⅰ）中轨迹C于A、B两点，点D在抛物线的准线上，且BD∥x轴．证明直线AD经过原点O．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，利用抛物线定义得到动点P的轨迹C是以F为焦点，以直线x=-p（p＞0）为准线的抛物线，求出动点P的轨迹C的方程即可；
（Ⅱ）设经过点F的直线l的方程可设为x=my+p，代入抛物线解析式，消去x得到关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出y₁y₂，由BD与x轴平行，且在抛物线准线上，设出D坐标，进而表示出$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OD}$，利用平面向量运算法则判断出$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OD}$共线，且有公共点，即可得证．

解答 （Ⅰ）解：∵动点P到定点F（p，0）和到直线x=-p（p＞0）的距离相等，
∴由抛物线定义知，动点P的轨迹C是以F为焦点，以直线x=-p（p＞0）为准线的抛物线，
则轨迹C的方程是y²=4px；
（Ⅱ）证明：经过点F的直线l的方程可设为x=my+p，
代入抛物线方程得：y²-4pmy-4p²=0，
若记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁，y₂是该方程的两个根，
∴y₁y₂=-4p²，
∵BD∥x轴，且点D在准线x=-p上，
∴点D的坐标为（-p，y₂），
∴$\overrightarrow{OA}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{OD}$=（-p，y₂），
∵x₁y₂+py₁=$\frac{{{y}_{1}}^{2}{y}_{2}}{4p}$+py₁=$\frac{-4{p}^{2}{y}_{1}}{4p}$+py₁=-py₁+py₁=0，
∴向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OD}$共线，且$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OD}$有共同的起点O，
则直线AC经过原点O．

点评 此题考查了抛物线的简单性质，抛物线的定义，以及平面向量的数量积运算法则，熟练掌握抛物线的定义是解本题的关键．