Question

13．如图，高为3的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是直角三角形，AC=2，D为A₁C₁的中点，F在线段AA₁上，CF⊥DB₁，且A₁F=1．
（1）求证：CF⊥平面B₁DF；
（2）求平面B₁FC与平面AFC所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的判定定理先证明CF⊥B₁F即即可证明CF⊥平面B₁DF；
（2）根据二面角的定义先找出二面角的平面角即可求平面B₁FC与平面AFC所成的锐二面角的余弦值．

解答 （1）证明：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是直角三角形，D为A₁C₁的中点，
∴DB₁⊥AA₁，
∵CF⊥DB₁，CF∩⊥AA₁=F．
∴DB₁⊥平面AA₁CC₁．
∴DB₁⊥A₁B₁，
则△A₁B₁C₁为等腰直角三角形，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中高为3，AC=2，A₁F=1
∴AB=BC=$\sqrt{2}$，AF=2，FB₁=$\sqrt{3}$，B₁C=$\sqrt{11}$，CF=2$\sqrt{2}$，
满足B₁F²+CF²=B₁C²，
即CF⊥B₁F，
∵CF⊥DB₁，DB₁∩B₁F=B₁，
∴CF⊥平面B₁DF；
（2）∵CF⊥平面B₁DF，B₁F?平面B₁DF，DF?平面B₁DF，
∴CF⊥B₁F，CF⊥DF，
∵DB₁⊥平面AA₁CC₁．
∴∠B₁FD是平面B₁FC与平面AFC所成的锐二面角的平面角，
则B₁D=1，DF=$\sqrt{2}$，
则cos∠B₁FD=$\frac{DF}{{B}_{1}F}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
即平面B₁FC与平面AFC所成的锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题主要考查空间线面垂直的判断以及二面角的求解，利用线面垂直的判定定理以及二面角的定义是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．