Question

20．在等差数列{a_n}中，a₁=3，其前n项和为S_n，等比数列{b_n}的各项均为正数，b₁=1，公比为q，且b₂+S₂=12，q=$\frac{{S}_{2}}{{b}_{2}}$．
（1）求a_n与b_n；
（2）若对于?n∈N^*，不等式$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$＜t恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过设等差数列{a_n}的公差为d，联立b₂+S₂=12及q=$\frac{{S}_{2}}{{b}_{2}}$，计算即得公差和公比，进而可得结论；
（2）通过（1）裂项可知$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），进而利用并项相消法计算、放缩即得结论．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵b₂+S₂=12，q=$\frac{{S}_{2}}{{b}_{2}}$，
∴q+6+d=12、q=$\frac{6+d}{q}$，
解得：q=3或q=-4（舍），d=3，
∴a_n=3+3（n-1）=3n，b_n=3^n-1；
（2）由（1）可知$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（3+3n）}$=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{3}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{2}{3}$（1-$\frac{1}{n+1}$），
∵n≥1，
∴$\frac{2}{3}$（1-$\frac{1}{n+1}$）＜$\frac{2}{3}$，
∴t≥$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，利用裂项相消法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．