Question

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），其离心率与双曲线$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的离心率互为倒数，而直线x+y=$\sqrt{3}$恰过椭圆C的焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆的左右顶点分别为A、B，上顶点为C，点P是椭圆上不同于顶点的任意一点，连接BP交直线AC于点M，连接CP与x轴交于点N，求证2k_MN-k_MB=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由双曲线方程求出双曲线的离心率，得到椭圆的离心率，再由直线x+y=$\sqrt{3}$恰过椭圆C的焦点求得椭圆的半焦距，进一步求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）由题意设出BP所在直线方程，和椭圆方程联立求出P的坐标，再由两直线方程联立求得M的坐标，结合C，P，N三点共线求出N的坐标，求出MN的斜率，代入要证的结论得答案．

解答 （1）解：由$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1，得${{a}_{1}}^{2}=3，{{b}_{1}}^{2}=1$，${{c}_{1}}^{2}={{a}_{1}}^{2}+{{b}_{1}}^{2}=3+1=4$，
∴双曲线离心率$e=\frac{{c}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$，
则椭圆离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
由x+y=$\sqrt{3}$，取y=0，可得x=$\sqrt{3}$，即c=$\sqrt{3}$，
∴a=2．
则b²=a²-c²=4-3=1．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）证明：如图，∵B（2，0），P不为椭圆顶点，
∴可设BP所在直线方程为y=k（x-2）（k≠0，k$≠±\frac{1}{2}$），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+1）x²-16k²x+16k²-4=0．
∴${x}_{P}+2=\frac{16{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$，${x}_{P}=\frac{8{k}^{2}-2}{4{k}^{2}+1}$．
∴${y}_{P}=k（\frac{8{k}^{2}-2}{4{k}^{2}+1}-2）=\frac{-4k}{4{k}^{2}+1}$，
则P（$\frac{8{k}^{2}-2}{4{k}^{2}+1}，\frac{-4k}{4{k}^{2}+1}$）．
又AC所在直线方程为y=$\frac{1}{2}x+1$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{y=\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$，解得M（$\frac{4k+2}{2k-1}，\frac{4k}{2k-1}$），
由三点C（0，1），P（$\frac{8{k}^{2}-2}{4{k}^{2}+1}，\frac{-4k}{4{k}^{2}+1}$），N（x，0）共线，
可得$\frac{\frac{-4k}{4{k}^{2}+1}-1}{\frac{8{k}^{2}-2}{4{k}^{2}+1}-0}=\frac{0-1}{x-0}$，∴N（$\frac{4k-2}{2k+1}，0$），
∴${k}_{MN}=\frac{\frac{4k}{2k-1}-0}{\frac{4k+2}{2k-1}-\frac{4k-2}{2k+1}}=\frac{2k+1}{4}$．
∴2k_MN-k_MB=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆标准方程的求法，考查了椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，体现了整体运算思想方法，属压轴题．