Question

18．已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-2a_n（n∈N^*）．
（1）证明：数列{a_n+1-a_n}是等比数列；
（2）设b_n=$\frac{{2}^{n-1}}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，T_n是数列{b_n}的前n项和，证明：T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n+2=3a_n+1-2a_n（n∈N^*）变形可知a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n）（n∈N^*），进而可知数列{a_n+1-a_n}是首项、公比均为2的等比数列；
（2）通过（1）可知a_n+1-a_n=2ⁿ，进而可知数列{a_n}是递增的，裂项可知b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$），进而并项相加、放缩即得结论．

解答 证明：（1）∵a_n+2=3a_n+1-2a_n（n∈N^*），
∴a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n）（n∈N^*），
又∵a₂-a₁=3-1=2，
∴数列{a_n+1-a_n}是首项、公比均为2的等比数列；
（2）由（1）可知a_n+1-a_n=2ⁿ，显然数列{a_n}是递增的，
∴b_n=$\frac{{2}^{n-1}}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$），
于是T_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$）
＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查等比数列的证明及数列的求和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．