Question

13．证明下列等式：
（1）$\frac{1+sin2φ}{sinφ+cosφ}$=sinφ+cosφ
（2）sinθ（1+cos2θ）=sin2θcosθ
（3）$\frac{1-ta{n}^{2}\frac{α}{2}}{1+ta{n}^{2}\frac{α}{2}}$=coaα
（4）4sinθcos²$\frac{θ}{2}$=2sinθ+sin2θ：
（5）$\frac{2sinα-sin2α}{2sinα+sin2α}$=tan²$\frac{α}{2}$
（6）cosα（cosα-cosβ）+sinα（sinα-sinβ）=2sin²$\frac{α-β}{2}$．

Answer 1

分析 利用三角函数恒等变换的应用化简等式左边等于右边即可得证．

解答 证明：（1）左边=$\frac{1+sin2φ}{sinφ+cosφ}$=$\frac{（sinφ+cosφ）^{2}}{sinφ+cosφ}$=sinφ+cosφ=右边，得证；
（2）左边=sinθ（1+cos2θ）=sinθ（1+2cos²θ-1）=2sinθcos²θ=sin2θcosθ=右边，得证；
（3）左边=$\frac{1-ta{n}^{2}\frac{α}{2}}{1+ta{n}^{2}\frac{α}{2}}$=$\frac{\frac{co{s}^{2}\frac{α}{2}-si{n}^{2}\frac{α}{2}}{co{s}^{2}\frac{α}{2}}}{\frac{co{s}^{2}\frac{α}{2}+si{n}^{2}\frac{α}{2}}{co{s}^{2}\frac{α}{2}}}$=coaα=右边，得证；
（4）左边=4sinθcos²$\frac{θ}{2}$=4sinθ×$\frac{1+cosθ}{2}$=2sinθ+sin2θ=右边，得证；
（5）左边=$\frac{2sinα-sin2α}{2sinα+sin2α}$=$\frac{2sinα-2sinαcosα}{2sinα+2sinαcosα}$=$\frac{1-cosα}{1+cosα}$=$\frac{2si{n}^{2}\frac{α}{2}}{2co{s}^{2}\frac{α}{2}}$=tan²$\frac{α}{2}$=右边，得证；
（6）左边=cosα（cosα-cosβ）+sinα（sinα-sinβ）
=cos²α-cosαcosβ+sin²α-sinαsinβ
=1-（cosαcosβ+sinαsinβ）
=1-cos（α-β）
=2sin²$\frac{α-β}{2}$
=右边，得证．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想，属于中档题．