Question

9．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，△ABC为边长为1的正三角形，且AA₁=2，D为AA₁上的点，且A₁D=$\frac{1}{4}$，F为AB的中点．
（1）求证：B₁D⊥A₁C；
（2）求直线A₁C₁与平面A₁CF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）可取A₁B₁的中点E，并连接FE，根据条件可知FB，FE，FC三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后可求出图形上一些点的坐标，从而得出$\overrightarrow{{B}_{1}D}$，$\overrightarrow{{A}_{1}C}$的坐标，容易得出$\overrightarrow{{B}_{1}D}•\overrightarrow{{A}_{1}C}=0$，从而证出B₁D⊥A₁C；
（2）可以求出向量$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}，\overrightarrow{F{A}_{1}}，\overrightarrow{FC}$的坐标，可设平面A₁CF的法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，根据$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{F{A}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{FC}=0}\end{array}\right.$即可求出法向量$\overrightarrow{m}$的坐标，可设直线A₁C₁与平面A₁CF所成角为θ，从而根据$sinθ=|cos＜\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}，\overrightarrow{m}＞|$即可求出sinθ的值．

解答 解：（1）证明：取A₁B₁的中点E，连接EF，则：FB，FE，FC三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则：

F（0，0，0），${B}_{1}（\frac{1}{2}，2，0），D（-\frac{1}{2}，\frac{7}{4}，0），{A}_{1}（-\frac{1}{2}，2，0）$，$C（0，0，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，${C}_{1}（0，2，\frac{\sqrt{3}}{2}）$；
∴$\overrightarrow{{B}_{1}D}=（-1，-\frac{1}{4}，0），\overrightarrow{{A}_{1}C}=（\frac{1}{2}，-2，\frac{\sqrt{3}}{2}）$；
∴$\overrightarrow{{B}_{1}D}•\overrightarrow{{A}_{1}C}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+0=0$；
∴$\overrightarrow{{B}_{1}D}⊥\overrightarrow{{A}_{1}C}$；
∴B₁D⊥A₁C；
（2）$\overrightarrow{F{A}_{1}}=（-\frac{1}{2}，2，0），\overrightarrow{FC}=（0，0，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=$（\frac{1}{2}，0，\frac{\sqrt{3}}{2}）$；
设平面A₁CF的法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，则：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{F{A}_{1}}=-\frac{1}{2}x+2y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{FC}=\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$；
取y=1，则x=4，z=0，∴$\overrightarrow{m}=（4，1，0）$；
设直线A₁C₁和平面A₁CF所成角为θ，则：
$sinθ=|cos＜\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}，\overrightarrow{m}＞|$=$\frac{2}{1•\sqrt{17}}=\frac{2\sqrt{17}}{17}$；
即直线A₁C₁和平面A₁CF所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{17}}{17}$．

点评 考查通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线垂直和线面角等问题的方法，能求空间点的坐标，数量积的坐标运算，向量垂直的充要条件，以及平面法向量的概念及求法，向量夹角余弦的坐标公式，清楚直线和平面所成角与直线的方向向量和平面法向量夹角的关系．