Question

3．向量$\overrightarrow{a}$=（x，4，5），$\overrightarrow{b}$=（1，-2，2），且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{6}$，则x的值为3．

Answer 1

分析 根据向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的坐标表示，求出$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角的余弦值，由此列出方程求出x的值．

解答 解：向量$\overrightarrow{a}$=（x，4，5），$\overrightarrow{b}$=（1，-2，2），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=x-2×4+2×5=x+2，
|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{{x}^{2}{+4}^{2}{+5}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+41}$，
|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{1}^{2}{+（-2）}^{2}{+2}^{2}}$=3；
又$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角的余弦值为：
cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{x+2}{\sqrt{{x}^{2}+41}×3}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$，
整理得x²+8x-33=0，
解得x=-11（不合题意，舍去）或x=3；
∴x的值为3．
故答案为：3．

点评 本题考查了空间向量的数量积的应用问题，也考查了两向量夹角余弦的应用问题，是基础题目．