Question

11．设函数f（x）=3x-x²-x²1nx-a（a∈R）．
（I）当f（x）≤0恒成立时，求a的取值范围：
（Ⅱ）已知函数f（x）在x=1处的切线方程为y=2，求证：f（x）＜$\frac{3{e}^{2}+1}{{e}^{2}}$e^x-1．

Answer 1

分析 （I）由题意可得a＞3x-x²-x²1nx的最大值，求出g（x）=3x-x²-x²1nx的导数，求得单调区间和极值、最值，即可得到a的范围；
（Ⅱ）求出导数，求得切线的斜率和切点，可得a=2，再由（I）的结论和指数函数的值域，即可得证．

解答 解：（I）当f（x）≤0恒成立，即为
a＞3x-x²-x²1nx的最大值，
由g（x）=3x-x²-x²1nx的导数为3-2x-（2xlnx+x）=3-3x-2xlnx，x＞0，
当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）递减；
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增．
即有x=1处取得最大值g（1）=2，
则a＞2；
（Ⅱ）证明：函数f（x）=3x-x²-x²1nx-a的导数为
f′（x）=3-2x-（2xlnx+x）=3-3x-2xlnx，
函数f（x）在x=1时处的切线斜率为k=0，
切点为（1，2），即有f（1）=2，
解得a=0，
由（I）可得f（x）的最大值为f（1）=3-1-0-2=0，
即有f（x）≤0，
由$\frac{3{e}^{2}+1}{{e}^{2}}$e^x-1＞0，
可得f（x）＜$\frac{3{e}^{2}+1}{{e}^{2}}$e^x-1恒成立．

点评 本题考查不等式成立问题的解法和不等式的证明，注意运用导数，求得单调区间、极值和最值，考查运算能力，属于中档题．