Question

20．已知α为锐角，cos（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求cosα的值．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系，分类讨论求得sin（α-$\frac{π}{6}$）的值，再利用两角差的余弦公式，求得cosα的值．

解答 解：∵α为锐角，cos（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴当α∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）时，sin（α-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α-\frac{π}{6}）}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴cosα=cos[（α-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=cos（α-$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-sin（α-$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}$．
当α∈（0，$\frac{π}{6}$）时，sin（α-$\frac{π}{6}$）=-$\sqrt{{1-cos}^{2}（α-\frac{π}{6}）}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴cosα=cos[（α-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=cos（α-$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-sin（α-$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．