Question

5．已知a为实数，函数f（x）=x²-|x²-ax-2|在区间（-∞，-1）和（2，+∞）上单调递增，则a的取值范围为[1，8]．

Answer 1

分析 根据绝对值的应用，将函数进行转化，结合一元二次不等式与一元二次函数之间的关系，结合函数的单调性的性质进行讨论判断．

解答 解：解：令函数g（x）=x²-ax-2，由于g（x）的判别式△=a²+8＞0，故函数g（x）一定有两个零点，
设为 x₁ 和x₂，且 x₁＜x₂．
∵函数f（x）=x²-|x²-ax-2|=$\left\{\begin{array}{l}{ax+2，}&{x＜{x}_{1}或x＞{x}_{2}}\\{2{x}^{2}-ax-2，}&{{x}_{1}≤x≤{x}_{2}}\end{array}\right.$，
故当x∈（-∞，x₁）、（x₂，+∞）时，
函数f（x）的图象是位于同一条直线上的两条射线，
当x∈（x₁，x₂ ）时，函数f（x）的图象是抛物线y=2x²-ax-2下凹的一部分，且各段连在一起．
由于f（x）在区间（-∞，-1）和（2，+∞）上单调递增，
∴a＞0且函数g（x）较小的零点x₁=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+8}}{2}$≥-1，
即a+2≥$\sqrt{{a}^{2}+8}$，
平方得a²+4a+4≥a²+8，得a≥1，
同时由y=2x²-ax-2的对称轴为 x=$-\frac{-a}{2×2}$=$\frac{a}{4}$，
若且-1≤$\frac{a}{4}$≤2，可得-4≤a≤8．
综上可得，1≤a≤8，
故实a的取值范围为[1，8]，
故答案为：[1，8]

点评 本题主要考查函数单调性的应用，根据绝对值的意义转化为一元二次函数，利用一元二次函数和一元二次不等式之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．