Question

10．已知p：x∈A={x|x²+ax+b≤0，a∈R，b∈R}，q：x∈B={x|x²-2mx+m²-4＜0，m∈R}．
（1）若A={x|-1≤x≤4}，求a+b的值；
（2）在（1）的条件下，若￢q是p的必要条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据条件转化为一元二次方程的关系，利用根与系数之间的关系进行求解即可．
（2）根据充分条件和必要条件的条件进行求解即可．

解答 解：（1）若A={x|-1≤x≤4}，则方程x²+ax+b=0的两根为-1和4．…（2分）
由根与系数的关系，得$\left\{\begin{array}{l}{-1+4=-a}\\{-1×4=b}\end{array}\right.$，解得a=-3，b=-4，所以a+b=-7．…（4分）
（2）由x²-2mx+m²-4＜0得m-2＜x＜m+2，即q：m-2＜x＜m+2，…（6分）
￢q：x≥m+2或x≤m-2，…（8分）
因为￢q是p的必要条件，所以A⊆C．…（10分）
故m-2≥4或m+2≤-1．解得m≥6，或m≤-3．
故实数m的取值范围是（-∞，-3]∪[6，+∞）．…（12分）

点评 本题主要考查充分条件和必要条件以及集合关系的应用，根据条件建立方程或不等式是解决本题的关键．