Question

6．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0．
（1）求角A的大小；
（2）若a=2，$\overrightarrow{BA}$$•\overrightarrow{AC}$=-2，求b，c．

Answer 1

分析 （1）使用正弦定理将边化角整理条件式子，即可得出tanA；
（2）由$\overrightarrow{BA}$$•\overrightarrow{AC}$=-2得bc=4，代入余弦定理得出b，c的关系式，联立方程组解出．

解答 解：（1）∵acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0，∴sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sinB+sinC．
又∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴$\sqrt{3}$sinAsinC=cosAsinC+sinC，
∵sinC≠0，∴$\sqrt{3}$sinA-cosA=1．两边平方得：2sin²A-2$\sqrt{3}$sinAcosA+1=1，
∴sinA=$\sqrt{3}$cosA，即tanA=$\sqrt{3}$，∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵$\overrightarrow{BA}$$•\overrightarrow{AC}$=-2，∴bccosA=2，即bc=4．
∵cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-4}{8}$=$\frac{1}{2}$，∴b²+c²=8，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{bc=4}\\{{b}^{2}+{c}^{2}=8}\end{array}\right.$，解得b=c=2．

点评 本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．