Question

10．已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形且∠ADC=120°，E，F分别是AD，PB的中点且PD=AD
（1）求证：EF∥平面PCD；
（2）若∠PDA=60°，求证：EF⊥BC；
（3）若PD⊥平面ABCD，求二面角A=PB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）利用线面平行的判定定理即可证明EF∥平面PCD；
（2）若∠PDA=60°，利用线面垂直的性质定理即可证明EF⊥BC；
（3）若PD⊥平面ABCD，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角A=PB-C的余弦值．

解答 （1）证明：取PC的中点G，连接FG，
∵E，F分别是AD，PB的中点，
∴FG为△PBC的中位线，
则FG∥BC，FG=$\frac{1}{2}$BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，
则DE∥FG，且DE=FG，
则四边形DFGD为平行四边形，
则EF∥DG，
∵EF?平面PCD，DG?平面PCD
∴EF∥平面PCD；
（2）若∠PDA=60°，
∵PD=AD，
∴△PAD是等腰三角形，
则PE⊥AD，
∵底面ABCD为菱形且∠ADC=120°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AE⊥BE，
∵PE∩BE=E，
∴AE⊥平面PBE，
∵BC∥AE，
∴BC⊥平面PBE，
∵EF?平面PBE
∴EF⊥BC；
（3）连接AC，BD交于O，连接OF，
则AC⊥BD，OF∥PD
若PD⊥平面ABCD，
则OF⊥平面ABCD，
建立以O为坐标原点，OA，OB，OF为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
设PD=AD=2，则OB=1，OA=OC=$\sqrt{3}$，OF=1，
则A（$\sqrt{3}$，0，0），C（-$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），P（0，0，2），
则$\overrightarrow{PB}$=（0，1，-2），$\overrightarrow{AB}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{3}$，-1，0），
设$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）为面APB的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}x+y=0}\\{y-2z=0}\end{array}\right.$，
令z=1，则y=2，x=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
则$\overrightarrow{m}$=（$\frac{2}{\sqrt{3}}$，2，1），
设平面PBC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{y-2z=0}\\{-\sqrt{3}x-y=0}\end{array}\right.$，
令z=1，则y=2，x=-$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
即$\overrightarrow{n}$=（-$\frac{2}{\sqrt{3}}$，2，1），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-\frac{2}{\sqrt{3}}×\frac{2}{\sqrt{3}}+2×2+1×1}{\sqrt{（\frac{2}{\sqrt{3}}）^{2}+{2}^{2}+{1}^{2}}•\sqrt{（-\frac{2}{\sqrt{3}}）^{2}+{2}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{11}{19}$，
∵二面角A-PB-C是钝二面角，
则面角A-PB-C的余弦值是-$\frac{11}{19}$．

点评 本题综合考查空间直线平行和垂直的判断以及空间角的计算，涉及二面角的平面角，利用向量法是解决空间角常用的方法，考查的知识面较广，难度中等．