Question

14．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=CB=2，且AC⊥CB，AA₁⊥底面ABC，E为AB中点．
（Ⅰ）求证：BC⊥A₁C；
（Ⅱ）求证：BC₁∥平面A₁CE；
（Ⅲ）若AA₁=3，BP=a，且AP⊥A₁C，写出a的值（不需写过程）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推忸出AA₁⊥CB，AC⊥CB，由此能证明CB⊥A₁C．
（Ⅱ）连接AC₁与A₁C交于点F，连接EF，推导出四边形AA₁C₁C是平行四边形，从而EF∥C₁B，由此能证明BC₁∥平面A₁CE．
（Ⅲ）过P作PQ∥BC，交CC₁于Q，由PQ⊥面ACC₁A₁，CQ=a，能求出结果．

解答 证明：（Ⅰ）因为AA₁⊥底面ABC，所以AA₁⊥CB．（2分）
因为AC⊥CB，所以CB⊥平面AA₁C₁C．（4分）
所以CB⊥A₁C．（5分）
（Ⅱ）连接AC₁与A₁C交于点F，连接EF，（7分）
由三棱柱性质可得四边形AA₁C₁C是平行四边形，
所以点F是AC₁的中点．
因为E为AB中点，
所以在△AC₁B中，EF∥C₁B．（8分）
因为EF?平面A₁CE，BC₁?平面A₁CE，（10分）
所以BC₁∥平面A₁CE．（11分）
解：（Ⅲ）$a=\frac{4}{3}$．（14分）

点评 本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．