Question

19．如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC=2AB=4，$A{A_1}=2\sqrt{2}$，E是A₁D₁的中点．
（Ⅰ）在平面A₁B₁C₁D₁内，请作出过点E与CE垂直的直线l，并证明l⊥CE；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中所作直线l与CE确定的平面为α，求点C₁到平面α的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接B₁E，C₁E，则直线B₁E即为所求直线l，推导出B₁E⊥CC₁，B₁E⊥C₁E，能证明l⊥CE．
（Ⅱ）连接B₁C，则平面CEB₁即为平面α，过点C₁作C₁F⊥CE于F，则C₁F⊥平面α，直线CC₁和平面α所成角为∠FCC₁，由此能求出点C₁到平面α的距离．

解答 解：（Ⅰ）如图所示，连接B₁E，C₁E，则直线B₁E即为所求直线l…（3分）
∵在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，CC₁⊥平面A₁B₁C₁D₁
∴B₁E⊥CC₁…（4分）
∵B₁C₁=2A₁B₁=4，E是A₁D₁的中点
∴B₁E⊥C₁E…（5分）
又CC₁∩C₁E=C₁
∴B₁E⊥平面CC₁E
∴B₁E⊥CE，即l⊥CE…（6分）
（Ⅱ）如图所示，连接B₁C，则平面CEB₁即为平面α
过点C₁作C₁F⊥CE于F…（7分）
由（Ⅰ）知B₁E⊥平面CC₁E，故B₁E⊥C₁F
∵C₁F⊥CE，CE∩B₁E=E
∴C₁F⊥平面CEB₁，即C₁F⊥平面α…（9分）
∴直线CC₁和平面α所成角为∠FCC₁…（10分）
∵在△ECC₁中，$E{C_1}=C{C_1}=2\sqrt{2}$，且EC₁⊥CC₁
∴C₁F=2…（11分）
∴点C₁到平面α的距离为2…（12分）

点评 本题考查线面垂直的作法与证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．