Question

13．已知双曲线C：${x^2}-\frac{y^2}{{{3^{\;}}}}=1$，A、B是双曲线上关于原点对称的两点，M是双曲线上异于A、B的一点，直线MA、MB的斜率分别记为k₁，k₂，且k₁∈[-3，-1]，则k₂的取值范围是[-3，-1]．

Answer 1

分析 设出点A，点M，点B的坐标，求出斜率，将点A，B的坐标代入方程，两式相减，再结合k₁∈[-3，-1]，即可求得结论．

解答 解：由题意，设A（x₁，y₁），M（x₂，y₂），则B（-x₁，-y₁）
∴k₁•k₂=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$，
∵${{x}_{1}}^{2}$-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}$=1，${{x}_{2}}^{2}$-$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{3}$=1，
∴两式相减可得$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=3
∵k₁∈[-3，-1]，∴k₂∈[-3，-1]．
故答案为：[-3，-1]．

点评 本题考查双曲线的方程，考查双曲线的几何性质，考查直线的斜率公式和点差法的运用，属于中档题．