Question

11．如图，正四面体ABCD的棱长为1．
（1）求异面直线AB、CD之间的距离；
（2）求点A到平面BCD的距离；
（3）求点E到平面ACD的距离．

Answer 1

分析 （1）连结AF、BF，推导出EF⊥AB，且EF⊥CD，从而EF长是异面直线AB、CD之间的距离，由此能求出异面直线AB、CD之间的距离．
（2）过A作AO⊥平面BCD，交BF于O，由勾股定理能求出点A到平面BCD的距离．
（3）设点E到平面ACD的距离为h，由V_E-ACD=V_C-AED，利用等积法能求出点E到平面ACD的距离．

解答 解：（1）正四面体ABCD的棱长为1，E、F分别为AB、CD中点，
连结AF、BF，∴CE=DE=BF=AF=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴EF⊥AB，且EF⊥CD，∴EF长是异面直线AB、CD之间的距离，
∴异面直线AB、CD之间的距离EF=$\sqrt{A{F}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{\frac{3}{4}-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）过A作AO⊥平面BCD，交BF于O，
则BO=$\frac{2}{3}BF=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴点A到平面BCD的距离AO=$\sqrt{A{B}^{2}-B{O}^{2}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（3）设点E到平面ACD的距离为h，
∵V_E-ACD=V_C-AED，
∴$\frac{1}{3}×{S}_{△ACD}×h=\frac{1}{3}×{S}_{△AED}×AO$，
∴h=$\frac{{S}_{△AED}×\frac{\sqrt{6}}{3}}{{S}_{△ACD}}$=$\frac{{S}_{△AED}×\frac{\sqrt{6}}{3}}{2{S}_{△AED}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查两异面直线间的距离、点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等积法的合理运用．