Question

3．如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A．
（1）若BD⊥AE，AB=4，BC=2，AD=3，求CE的长；
（2）若$\frac{AB}{AC}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{AD}{AE}$=$\frac{1}{3}$，求$\frac{BD}{EC}$的值．

Answer 1

分析 （1）首先根据题中圆的切线条件再依据割线定理求得一个线段AE的长，再根据勾股定理的线段的关系可求得CE的长度即可．
（2）由已知AC=2AB，AE=3AD，从而AD=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}AB$，由△ABD∽△AEC，能求出$\frac{BD}{EC}$的值．

解答 解：（1）∵⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A，BD⊥AE，AB=4，BC=2，AD=3，
∴由割线定理得AB•AC=AD•AE，
∴AE=$\frac{AB•AC}{AD}$=$\frac{4×（4+2）}{3}$=8，
DE=AE-AD=8-3=5，
又BD⊥AE，∴BE为直径，∴∠C=90°，
在Rt△ACE中，由勾股定理得CE²=AE²-AC²=28，
∴CE=2$\sqrt{7}$．
（2）∵∠AEC=∠ABD，∠A=∠A，
∵$\frac{AB}{AC}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{AD}{AE}$=$\frac{1}{3}$，∴AC=2AB，AE=3AD，
∵AD•AE=AB•AC，∴3AD²=2AB²，∴AD=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}AB$，
∴△ABD∽△AEC，∴$\frac{BD}{EC}$=$\frac{AB}{AE}$，
∴$\frac{BD}{EC}=\frac{AB}{3AD}=\frac{AB}{\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}AB}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查线段长的求法，考查两线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．