Question

8．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，D，E分别为CC₁和A₁B₁的中点，且A₁A=AC=2AB=2．
（1）求证：C₁E∥面A₁BD；
（2）求点C₁到平面A₁BD的距离．

Answer 1

分析 （1）以A₁为原点，A₁B₁为x轴，A₁C₁为y轴，A₁A为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明C₁E∥面A₁BD．
（2）求出$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（0，2，0），利用向量法能求出点C₁到平面A₁BD的距离．

解答 证明：（1）以A₁为原点，A₁B₁为x轴，A₁C₁为y轴，A₁A为z轴，建立空间直角坐标系，
由已知得C₁（0，2，0），E（$\frac{1}{2}$，0，0），A₁（0，0，0），B（1，0，2），D（0，2，1），
$\overrightarrow{{C}_{1}E}$=（$\frac{1}{2}，-2$，0），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（1，0，2），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（0，2，1），
设平面A₁BD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=2y+z=0}\end{array}\right.$，取x=4，得$\overrightarrow{n}$=（4，1，-2），
∵$\overrightarrow{{C}_{1}E}$•$\overrightarrow{n}$=2-2+0=0，C₁E?平面A₁BD，
∴C₁E∥面A₁BD．
解：（2）$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（0，2，0），
∴点C₁到平面A₁BD的距离：
d=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|2|}{\sqrt{21}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{21}$．
∴点C₁到平面A₁BD的距离为$\frac{2\sqrt{21}}{21}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．