Question

12．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，M，N，P分别为AD，CF，CE的中点，现沿AE，AF，EF折叠，使B，C，D三点重合，构成一个三棱锥B-AEF．
（1）求证：平面MNP∥平面AEF；
（2）求三棱锥P-MNE的体积．

Answer 1

分析 （1）根据中位线定理得MP∥AE，PN∥EF，故平面MNP∥平面AEF；
（2）把△PNE看做棱锥的底面，则棱锥的高为MB，代入体积公式计算．

解答 证明：（1）∵M，P，分别是AB，BE的中点，∴MP∥AE，
∵AE?平面AEF，MP?平面AEF，
∴MP∥平面AEF，
同理可得：NP∥平面AEF，又∵MP?平面MNP，NP?平面MNP，MP∩NP=P，
∴平面MNP∥平面AEF．
（2）∵P，N是BE，BF的中点，∴S_△PNE=$\frac{1}{4}$S_△BEF=$\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{8}$．
∵AB⊥BE，AB⊥BF，BE∩BF=B，BE?平面BEF，BF?平面BEF，∴AB⊥平面BEF，
∴三棱锥P-MNE的体积V=$\frac{1}{3}$S_△PNE•MB=$\frac{1}{3}×\frac{1}{8}×1$=$\frac{1}{24}$．

点评 本题考查了面面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．