Question

1．如图所示，四边形MNPQ为圆内接四边形，对角线MP与NQ相交于点S，R为MN与QP延长线的交点，且MN=NP，∠MPQ=60°，△MPR为等腰三角形．
（Ⅰ）求∠PQM的大小；
（Ⅱ）若MN=3，求QM的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等腰三角形的性质，即可求∠PQM的大小；
（Ⅱ）若MN=3，求出MP，PQ，即可求QM的长．

解答 解：（Ⅰ）∵MN=NP，∴∠NMP=∠NPM，
∵△MPR为等腰三角形，PM=PR，∴∠NMP=∠R
∵∠MPQ=60°，
∴∠PMR=∠R=30°，
∴∠PQM=∠MQN+∠NQP=∠MPN+∠NMP=60°；
（Ⅱ）∵MN=NP，
∴∠NPM=30°，
∵∠MPQ=60°，∴∠NPQ=90°，
∴PQ=3tan60°=3$\sqrt{3}$
∵MN=3，
∴MP=2×$3×\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∵∠MPQ=60°，
∴QM=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查等腰三角形的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．