Question

7．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE．
（Ⅰ）（i）证明：DE⊥平面PBC；
（ii）若把四个面都是直角三角形的四面体叫做直角四面体，试判断四面体EBCD是否为直角四面体，若是写出每个面的直角（只需写结论），若不是请说明理由．
（Ⅱ）求二面角P-BC-A的大小；
（Ⅲ）记三棱锥P-ABD的体积为V₁，四面体EBCD的体积为V₂，求$\frac{V_1}{V_2}$．

Answer 1

分析 （I）由PD⊥平面ABCD得PD⊥BC，由BC⊥CD得BC⊥平面PCD，故BC⊥DE，又因为PD=CD，E是PC中点，所以DE⊥PC，故DE⊥平面PBC；
（II）∠PCD就是二面角P-BC-A的平面角，由△PDC是等腰直角三角形可知二面角P-BC-A的大小为45°；
（III）由E为PC中点可知E到平面ABCD的距离h=$\frac{1}{2}$PD，而两个棱锥的底面积相等，故$\frac{V_1}{V_2}$=2．

解答 解：（Ⅰ）（i）∵PD⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PD⊥BC．
∵底面ABCD为矩形，∴BC⊥CD，又∵PD∩CD=D，PD?平面PCD，CD?平面PCD，
∴BC⊥平面PCD．∵DE?平面PCD，
∴BC⊥DE．
∵PD=CD，点E是PC的中点，∴DE⊥PC．又∵PC∩BC=C，BC?平面PBC，PC?平面PBC，
∴DE⊥平面PBC．
（ii）∵BC⊥平面PCD，∴BC⊥CE，BC⊥CD，
∵DE⊥平面PBC，∴DE⊥BE，DE⊥CE，
∴四面体EBCD是一个直角四面体，其四个面的直角分别是：∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB．
（Ⅱ）∵BC⊥CE，CD⊥BC，∴∠PCD就是二面角P-BC-A的平面角，
∵PD=CD，PD⊥CD，∴△PCD是等腰直角三角形，
∴∠PCD=45°，即二面角P-BC-A的大小是45°．
（Ⅲ）∵E是PC的中点，∴E到平面ABCD的距离h=$\frac{1}{2}PD$，
∵底面ABCD是矩形，∴S_△ABD=S_△BCD，
∵V₁=$\frac{1}{3}$S_△ABD•PD，V₂=$\frac{1}{3}$S_△BCD•$\frac{1}{2}$PD，
∴$\frac{V_1}{V_2}$=2．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．