Question

11．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），左焦点F（-$\sqrt{3}$，0），且离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=x+m与椭圆C交于不同的两点M，N（M，N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点A．求直线l的方程．

Answer 1

分析 （I）由题设知c=$\sqrt{3}$，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由此能求出椭圆C的方程．
（II）设M（x₁，y₁） N（x₂，y₂），右顶点A（2，0），由以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点A，知（2-x₂）（2-x₁）+y₁y₂=0，把y=x+m代入椭圆方程，再由韦达定理结合题设条件能求出直线方程．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，a＞b＞0，
左焦点F（-$\sqrt{3}$，0），且离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴c=$\sqrt{3}$，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴a=2，b²=4-3=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（II）证明：设M（x₁，y₁） N（x₂，y₂），右顶点A（2，0），$\overrightarrow{AM}$=（2-x₁，y₁），$\overrightarrow{AN}$=（2-x₂，y₂），
∵以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点A，
∴（2-x₂）（2-x₁）+y₁y₂=0，
∵y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m）=x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²
∴4+（m-2）（x₁+x₂）+2x₁x₂+m²=0 ①
把y=x+m代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，得$\frac{{x}^{2}}{4}$+（x+m）²=1，
整理，得$\frac{5}{4}$x²+2mx+m²-1=0，
所以x₁x₂=$\frac{4}{5}（{m}^{2}-1）$，x₁+x₂=-$\frac{8}{5}km$，②
把②入①，得
4+（km-2）•（-$\frac{8}{5}km$）+（1+k²）•$\frac{4}{5}（{m}^{2}-1）$+m²
=（5m²+16m+12）÷（1+4）
=（m+2）（5m+6）÷（1+4）=0
所以m+2=0 或者 m+$\frac{6}{5}$=0
当m+2=0时，直线y=x-2恒过点（2，0）和A点重合显然不符合
当m+$\frac{6}{5}$=0时 直线恒过点（$\frac{6}{5}$，0）符合题意
∴直线l的方程y=x-$\frac{6}{5}$．

点评 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．