Question

15．如图所示，两个圆相内切于点T，公切线为TN，外圆的弦TC，TD分别交内圆于A、B两点，并且外圆的弦CD恰切内圆于点M．
（Ⅰ）证明：AB∥CD；
（Ⅱ）证明：AC•MD=BD•CM．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明∠TCD=∠TAB，即可证明AB∥CD；
（Ⅱ）证明：∠MTD=∠ATM，利用正弦定理证明$\frac{MD}{MC}=\frac{TD}{TC}$，由AB∥CD知$\frac{TD}{TC}=\frac{BD}{AC}$，即可证明AC•MD=BD•CM．

解答 （Ⅰ）由弦切角定理可知，∠NTB=∠TAB，…（3分）
同理，∠NTB=∠TCD，所以，∠TCD=∠TAB，
所以，AB∥CD．…（5分）
（Ⅱ）连接TM、AM，
因为CD是切内圆于点M，
所以由弦切角定理知，∠CMA=∠ATM，
又由（Ⅰ）知AB∥CD，
所以，∠CMA=∠MAB，又∠MTD=∠MAB，
所以∠MTD=∠ATM．…（8分）
在△MTD中，由正弦定理知，$\frac{MD}{sin∠DTM}=\frac{TD}{sin∠TMD}$，
在△MTC中，由正弦定理知，$\frac{MC}{sin∠ATM}=\frac{TC}{sin∠TMC}$，因∠TMC=π-∠TMD，
所以$\frac{MD}{MC}=\frac{TD}{TC}$，由AB∥CD知$\frac{TD}{TC}=\frac{BD}{AC}$，
所以$\frac{MD}{MC}=\frac{BD}{AC}$，即，AC•MD=BD•CM．…（10分）

点评 本题考查正弦定理，弦切角定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．