Question

6．如图，正方形ABCD中，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连接CF并延长交AB于点E．
（Ⅰ）求证：AE=EB；
（Ⅱ）若EF•FC=$\frac{4}{5}$，求正方形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出EA为圆D的切线，且EB是圆O的切线，由此利用切割线定理能证明AE=EB．
（Ⅱ）设正方形的边长为a，连结BF，由射影定理能求出正方形ABCD的面积．

解答 证明：（Ⅰ）∵以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径半圆交于点F，
且四边形ABCD为正方形，
∴EA为圆D的切线，且EB是圆O的切线，
由切割线定理得EA²=EF•EC，
故AE=EB．
（Ⅱ）设正方形的边长为a，连结BF，
∵BC为圆O的直径，∴BF⊥EC，
在Rt△BCE中，由射影定理得EF•FC=BF²=$\frac{4}{5}$，
∴BF=$\frac{2}{5}\sqrt{5}$=$\frac{a×\frac{a}{2}}{\sqrt{{a}^{2}+（\frac{a}{2}）^{2}}}$，解得a=2，
∴正方形ABCD的面积为4．

点评 本题考查两线段相等的证明，考查正方形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．