Question

14．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=2，∠BAC=$\frac{π}{2}$，E、F依次为CC₁和BC的中点：
（1）异面直线A₁B与EF所成角的大小；
（2）点B到平面AEF的距离．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB为x轴，AB为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与EF所成角的大小．
（2）求出平面AEF的法向，利用向量法能求出点B到平面AEF的距离．

解答 解：（1）以A为原点，AB为x轴，AB为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=2，∠BAC=$\frac{π}{2}$，E、F依次为CC₁和BC的中点，
∴A₁（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2，0），F（1，1，0），E（0，2，1），
$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{EF}$=（1，-1，-1），
设异面直线A₁B与EF所成角为θ，
则cosθ=|coc＜$\overrightarrow{{A}_{1}B}，\overrightarrow{EF}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{EF}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}B}|•|\overrightarrow{EF}|}$=$\frac{|4|}{\sqrt{8}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴异面直线A₁B与EF所成角为arccos$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（2）$\overrightarrow{AB}$=（2，0，0），$\overrightarrow{AE}$=（0，2，1），$\overrightarrow{AF}$=（1，1，0），
设平面AEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=2y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2），
∴点B到平面AEF的距离d=$\frac{|\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|2|}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．