Question

20．已知3tan（α-$\frac{π}{12}$）=tan（α+$\frac{π}{12}$），求证：sin2α=1．

Answer 1

分析 把已知等式两边展开两角和与差的正切，整理后化切为弦，进一步整理得答案．

解答 证明：由3tan（α-$\frac{π}{12}$）=tan（α+$\frac{π}{12}$），得
$3\frac{tanα-tan\frac{π}{12}}{1+tanαtan\frac{π}{12}}=\frac{tanα+tan\frac{π}{12}}{1-tanαtan\frac{π}{12}}$，
整理得：tanα（$1+ta{n}^{2}\frac{π}{12}$）-2tan$\frac{π}{12}$（1+tan²α）=0，
即$tanα•\frac{1}{co{s}^{2}\frac{π}{12}}-2tan\frac{π}{12}•\frac{1}{co{s}^{2}α}=0$，
∴$\frac{sinα}{cosα}•\frac{2}{1+cos\frac{π}{6}}-2•\frac{1-cos\frac{π}{6}}{sin\frac{π}{6}}•\frac{1}{co{s}^{2}α}=0$，
则$\frac{sinα}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}-\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}cosα}=0$，
∴$\frac{\frac{1}{2}sinαcosα-（1-\frac{\sqrt{3}}{2}）（1+\frac{\sqrt{3}}{2}）}{\frac{1}{2}（1+\frac{\sqrt{3}}{2}）cosα}=0$，
∴$\frac{1}{4}sin2α={1}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}=\frac{1}{4}$，
即sin2α=1．

点评 本题考查两角和与差的正切函数，考查了同角三角函数的基本关系式的应用，关键是熟练记忆有关公式，是中档题．