Question

5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=6，b=8，c=10，点P是△ABC内接圆上任意一点，求点P到顶点A，B，C的距离的平方和的最大值与最小值．

Answer 1

分析 利用直角三角形的性质求得其内切圆的半径，如图建立直角坐标系，则内切圆的方程可得，设出p的坐标，表示出，S=|PA|²+|PB|²+|PC|²，利用x的范围确定S的范围，则最大和最小值可得

解答 解：如图，△ABC是直角三角形，设△ABC的内切圆圆心为O'，
切点分别为D，E，F，则
AD+DB+EC=$\frac{1}{2}$（10+8+6）=12．但上式中AD+DB=c=10，
所以内切圆半径r=EC=2，
如图建立坐标系，则内切圆方程为：（x-2）²+（y-2）²=4
设圆上动点P的坐标为（x，y），
则S=|PA|²+|PB|²+|PC|²
=（x-8）²+y²+x²+（y-6）²+x²+y²
=3x²+3y²-16x-12y+100
=3[（x-2）²+（y-2）²]-4x+76
=3×4-4x+76=88-4x．
因为P点在内切圆上，所以0≤x≤4，
S_最大值=88-0=88，
S_最小值=88-16=72

点评 本题主要考查了三角函数求最值的问题，直角三角形内切圆的问题，圆的性质问题．考查了学生基础知识的综合应用．