Question

6．在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C所对的边，已知b²+c²-a²=bc．
（1）求角A的度数；
（2）若a=$\sqrt{3}$，b+c=3，求b和c的长度．

Answer 1

分析 （1）直接利用余弦定理的推论结合已知求得A值；
（2）由已知结合（1）中求得的A值可得bc的值，再与b+c=3联立方程组得答案．

解答 解：（1）∵b²+c²-a²=bc，
∴由余弦定理可得：
$cosA=\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=\frac{bc}{2bc}=\frac{1}{2}$，
∵A∈（0°，180°），
∴A=60°；
（2）由a²=b²+c²-2bc•cosA，且$a=\sqrt{3}$，b+c=3，A=60°，
得3=（b+c）²-2bc-2bc•cos60°，
即3=9-3bc，
∴bc=2，
联立$\left\{\begin{array}{l}{b+c=3}\\{bc=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查解三角形，考查了余弦定理的应用，是中档题．