Question

9．已知函数f（x）=|2^x-$\frac{a}{{2}^{x}}$|，其在区间[0，1]上单调递增，则a的取值范围为（　　）

• A． [0，1]
• B． [-1，0]
• C． [-1，1]
• D． [-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 令t=2^x，x∈[0，1]，则t∈[1，2]，y=f（x）=|t-$\frac{a}{t}$|，若函数f（x）=|2^x-$\frac{a}{{2}^{x}}$|，其在区间[0，1]上单调递增，则y=|t-$\frac{a}{t}$|，t∈[1，2]为增函数，分类讨论，可得满足条件的a的取值范围．

解答 解：令t=2^x，x∈[0，1]，则t∈[1，2]，y=f（x）=|t-$\frac{a}{t}$|，
若函数f（x）=|2^x-$\frac{a}{{2}^{x}}$|，其在区间[0，1]上单调递增，
则y=|t-$\frac{a}{t}$|，t∈[1，2]为增函数，
若a＞0，y=|t-$\frac{a}{t}$|的单调递增区间为[-$\sqrt{a}$，0）和[$\sqrt{a}$，+∞），
则$\sqrt{a}$≤1，即0＜a≤1
若a=0，y=t，t∈[1，2]为增函数，满足条件；
若a＜0，y=|t-$\frac{a}{t}$|的单调递增区间为[-$\sqrt{-a}$，0）和[$\sqrt{-a}$，+∞），
则$\sqrt{-a}$≤1，即-1≤a＜0，
综上可得a的取值范围为[-1，1]，
故选：C

点评 本题考查的知识点是函数单调性的性质，分类讨论思想，难度中档．