Question

13．如图，三棱柱中ABC-A₁B₁C₁，侧棱与底面ABC垂直，且AB₁⊥BC₁，AB=AA₁=1，BC=2．
（I）证明：AB₁⊥A₁C₁；
（Ⅱ）求点A₁到平面ABC₁的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AB₁⊥A₁B，AB₁⊥BC₁，从而AB₁⊥平面A₁BC₁，由此能证明AB₁⊥A₁C₁．
（Ⅱ）作A₁H⊥AC₁于H，则A₁H⊥平面ABC₁，由此利用等积法能求出点A₁到平面ABC₁的距离．

解答 证明：（Ⅰ）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面ABC垂直，
∴AB=AA₁，∵AB=AA₁=1，
∴四边形ABAA₁是正方形，∴AB₁⊥A₁B，
∵AB₁⊥BC₁，BC₁∩A₁B=B，
∴AB₁⊥平面A₁BC₁，
∵A₁C₁?平面A₁BC₁，∴AB₁⊥A₁C₁．
解：（Ⅱ）∵AB₁⊥A₁C₁，∴AB₁⊥AC
又BB₁⊥AC，AB₁∩BB₁=B₁，
∴AC⊥平面ABAA₁，∴AC⊥AB，∴A₁C₁⊥AB，
作A₁H⊥AC₁于H
∵AB⊥平面A₁C，∴AB⊥A₁H
∵AC₁∩AB=A
∴A₁H⊥平面ABC₁，
过A₁作A₁E⊥BC₁于E，∵$\frac{1}{2}•{A}_{1}H•A{C}_{1}=\frac{1}{2}•{A}_{1}A•AC$，
∴A1H=$\frac{{A}_{1}A•AC}{A{C}_{1}}$=$\frac{1×\sqrt{4-1}}{\sqrt{4-1+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴点A₁到平面ABC₁的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．