Question

2．如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、P分别是AB、AD、AA₁的中点，
（1）求证：平面CB₁D₁∥平面MNP；
（2）求平面CB₁D₁与平面MNP的距离．

Answer 1

分析 （1）连结A₁B、A₁D，根据正方体的性质证出四边形A₁D₁CB是平行四边形，可得A₁B∥D₁C，由三角形中位线定理得PM∥A₁B，从而得到PM∥D₁C，利用线面平行判定定理证出PM∥平面CB₁D₁，同理可得MN∥平面CB₁D₁．最后利用面面平行判定定理即可证出平面MNP∥平面CB₁D₁．
（2）由题意，AC₁被平面CB₁D₁、平面A₁BD截成相等的3部分，距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，A到平面MNP的距离为$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，即可求出平面CB₁D₁与平面MNP的距离．

解答 （1）证明：连结A₁B、A₁D，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D₁平行且等于BC，
∴四边形A₁D₁CB是平行四边形，可得A₁B∥D₁C，
∵PM是△AA₁B的中位线，可得PM∥A₁B，∴PM∥D₁C，
∵PM?平面CB₁D₁，D₁C?平面CB₁D₁，
∴PM∥平面CB₁D₁，
同理可得：MN∥平面CB₁D₁，
∵PM、MN是平面MNP内的相交直线，
∴平面MNP∥平面CB₁D₁．
（2）解：由题意，AC₁被平面CB₁D₁、平面A₁BD截成相等的3部分，距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，A到平面MNP的距离为$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，
∴平面CB₁D₁与平面MNP的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$a+$\frac{\sqrt{3}}{6}$a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a．

点评 本题证明正方体中的面面平行，考查了正方体的性质、线面平行与面面平行的判定定理，考查平面与平面间的距离等知识，属于中档题．