Question

12．已知：正四棱锥P-ABCD，O为正方形ABCD的中心，PA与底ABCD所成的角为α，且cosα=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
（1）若E为PB的中点，求证：OE∥平面PCD；
（2）求侧面PCD与底面ABCD所成二面角的大小．

Answer 1

分析 （1）若E为PB的中点，根据线面平行的判定定理证明OE∥DP，即可证明OE∥平面PCD；
（2）根据二面角的定义作出侧面和底面的二面角的平面角，结合三角函数的关系即可求侧面PCD与底面ABCD所成二面角的大小．

解答 （1）证明：连接OE，
∵E为PB的中点，O为正方形ABCD的中心，
∴OE是三角形PDB的中位线，
则OE∥DP，
∵OE?平面PCD，DP?平面PCD，
∴OE∥平面PCD．
解：（2）取CD中点M，连接MO，PM，依条件可知CD⊥MO，CD⊥PO，则∠PMO为侧面PCD与底面ABCD所成二面角的平面角，
∵PO⊥面ABCD，
∴∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角．
∵PA与底ABCD所成的角为α，且cosα=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
即cos∠PAO=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴设AB=a，AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
则cos∠PAO=$\frac{AO}{PA}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}a}{2}}{PA}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
则PA=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，
∴PO=$\sqrt{P{A}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{5}a}{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{2}a}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∵OM=$\frac{a}{2}$，
∴在直角三角形PM0中，tan∠PMO=$\frac{PO}{OM}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{\frac{1}{2}a}$=$\sqrt{3}$．
∴∠PMO=60°．
即侧面PCD与底面ABCD所成二面角的大小是60°．

点评 本题主要考查了线面平行的判定依据二面角及其度量，根据线面平行的判定定理以及二面角的定义通过过巧妙设置辅助线找到二面角是解决本题的关键．．