Question

7．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，M为棱CC₁的中点，则点M到平面A₁BD的距离是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点M到平面A₁BD的距离．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A₁（1，0，1），B（1，1，0），M（0，1，$\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（1，0，1），$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{DM}$=（0，1，$\frac{1}{2}$），
设平面A₁BD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），
∴点M到平面A₁BD的距离：
d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DM}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查点到平面的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．