Question

（本小题满分12分）
某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：元，）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．（I）将一个星期的商品销售利润表示成的函数；（II）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

Answer 1

（I）（II）时利润最大.

解析试题分析：（Ⅰ）设商品降价元，则多卖的商品数为，若记商品在一个星期的获利为，
则依题意有，
又由已知条件，，于是有，所以．
（Ⅱ）根据（Ⅰ），我们有．

		2		12
		0		0
		极小		极大

故时，达到极大值．因为，，所以定价为元能使一个星期的商品销售利润最大．
考点：函数模型的选择与应用．
点评:本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力．利用导数求函数的最值是解决本题的关键．