(本小题13分)已知函数在点
处的切线与直线
垂直.
(1)若对于区间上任意两个自变量的值
都有
,求实数
的最小值;
(2)若过点可作曲线
的三条切线,求实数
的取值范围.
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(本小题满分12分)
某商品每件成本9元,售价为30元,每星期卖出432件,如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值(单位:元,
)的平方成正比,已知商品单价降低2元时,一星期多卖出24件.(I)将一个星期的商品销售利润表示成
的函数;(II)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?
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(本小题满分12分)
有甲、乙两种商品,经营销售这两种商品所能获得的利润依次是(万元)和
(万元),它们与投入资金
(万元)的关系有经验公式:
。今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品,为获得最大利润,对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少?能获得最大利润是多少?
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(本小题共8分)
提高二环路的车辆通行能力可有效改善整个城区的交通状况,在一般情况下,二环路上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数。当二环路上的车流密度达到600辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过60辆/千米时,车流速度为80千米/小时,研究表明:当60≤x≤600时,车流速度v是车流密度x的一次函数。
(Ⅰ)当0≤x≤600时,求函数f(x)的表达式;
(Ⅱ)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过二环路上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值。(精确到1辆/小时)
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(本小题满分14分)已知函数,其中
(Ⅰ)求在
上的单调区间;
(Ⅱ)求在
(
为自然对数的底数)上的最大值;
(III)对任意给定的正实数,曲线
上是否存在两点
、
,使得
是以原点
为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在
轴上?
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(本小题满分14分)
某网店对一应季商品过去20天的销售价格及销售量进行了监测统计发现,第天(
)的销售价格(单位:元)为
,第
天的销售量为
,已知该商品成本为每件25元.
(Ⅰ)写出销售额关于第
天的函数关系式;
(Ⅱ)求该商品第7天的利润;
(Ⅲ)该商品第几天的利润最大?并求出最大利润.
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已知二次函数为常数,且
)满足条件:
,且方程
有两个相等的实数根.
(1)求的解析式;
(2)求函数在区间上的最大值和最小值;
(3)是否存在实数使
的定义域和值域分别为
和
,如果存在,求出
的值,如不存在,请说明理由.
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某工厂每天生产某种产品最多不超过40件,并且在生产过程中产品的正品率与每日生产产品件数
(
)间的关系为
,每生产一件正品盈利4000元,每出现一件次品亏损2000元.
(注:正品率=产品的正品件数÷产品总件数×100%)
(1)将日利润(元)表示成日产量
(件)的函数;
(2)求该厂的日产量为多少件时,日利润最大?并求出日利润的最大值.
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