【题目】对于函数f(x),若f(x)的图象上存在关于原点对称的点,则称f(x)为定义域上的“伪奇函数”.
(1)若f(x)=ln(2x+1)+m是定义在区间[﹣1,1]上的“伪奇函数”,求实数m的取值范围;
(2)试讨论f(x)=4x﹣m2x+2+4m2﹣3在R上是否为“伪奇函数”?并说明理由.
【答案】(1);(2)当
时,函数f(x)为“伪奇函数”,当
时,函数f(x)不是“伪奇函数”.
【解析】
(1)等价于﹣2m=ln(2x+2﹣x+2)在[﹣1,1]上有解,令,
,利用函数的单调性分析得到2ln3﹣ln2≤﹣2m≤ln4,
解之即得.(2)假设存在实数x满足题意,等价于(2x+2﹣x)2﹣2﹣4m(2x+2﹣x)+8m2﹣6=0有解,令n=2x+2﹣x(n≥2),则需n2﹣4mn+8m2﹣8=0在[2,+∞)上有解,再分类讨论得解.
(1)因为f(x)=ln(2x+1)+m是定义在区间[﹣1,1]上的“伪奇函数”,
所以存在x使得f(x)+f(﹣x)=0成立,
即﹣2m=ln(2x+2﹣x+2)在[﹣1,1]上有解,
令,
,
而函数在
上单调递减,在(1,2]上单调递增,
故由复合函数的单调性法则可知,
函数g(t)在上单调递减,在(1,2]上单调递增,
且,
故要使﹣2m=ln(2x+2﹣x+2)在[﹣1,1]上有解,
则2ln3﹣ln2≤﹣2m≤ln4,
解得.
(2)假设存在实数x使得4x﹣m2x+2+4m2﹣3+4﹣x﹣m2﹣x+2+4m2﹣3=0成立,
即4x+4﹣x﹣4m/span>2x﹣4m2﹣x+8m2﹣6=0,
即(2x+2﹣x)2﹣2﹣4m(2x+2﹣x)+8m2﹣6=0,
令n=2x+2﹣x(n≥2),则需n2﹣4mn+8m2﹣8=0在[2,+∞)上有解,
①当△=16m2﹣4(8m2﹣8)<0,即或
时,方程n2﹣4mn+8m2﹣8=0无解,此时函数f(x)不为“伪奇函数”;
②当时,方程n2﹣4mn+8m2﹣8=0的解为
满足条件,此时函数f(x)为“伪奇函数”;
③当时,方程n2﹣4mn+8m2﹣8=0的解为
不满足条件,此时函数f(x)不为“伪奇函数”;
④当时,方程n2﹣4mn+8m2﹣8=0的解为
,
解不等式或
,
不等式的解为
,
不等式的解为
,
因为,所以
.
此时方程n2﹣4mn+8m2﹣8=0在[2,+∞)上有解,此时函数f(x)为“伪奇函数”.
综上所述,当时,函数f(x)为“伪奇函数”,当
时,函数f(x)不是“伪奇函数”.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知一定点,及一定直线
:
,以动点
为圆心的圆
过点
,且与直线
相切.
(Ⅰ)求动点的轨迹
的方程;
(Ⅱ)设在直线
上,直线
,
分别与曲线
相切于
,
,
为线段
的中点.求证:
,且直线
恒过定点.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动.
(1)证明:D1E⊥A1D;
(2)若EB,求二面角D1﹣EC﹣D的大小.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,圆形纸片的圆心为,半径为
,该纸片上的正方形
的中心为
为圆
上的点,
,
,
,
分别是以
为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以
为折痕折起
,
,
,
使得
重合,得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时,该四棱锥的外接球的表面积为__________.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线:
的焦点为
,准线为
,
与
轴的交点为
,点
在抛物线
上,过点
作
于点
,如图1.已知
,且四边形
的面积为
.
(1)求抛物线的方程;
(2)若正方形的三个顶点
,
,
都在抛物线
上(如图2),求正方形
面积的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数对于任意的
,都有
,当
时,
,且
.
(1)求,
的值;
(2)当时,求函数
的最大值和最小值;
(3)设函数,判断函数g(x) 最多有几个零点,并求出此时实数m的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】手机中的“
运动”具有这样的功能,不仅可以看自己每天的运动步数,还可以看到朋友圈里好友的步数.小明的
朋友圈里有大量好友参与了“
运动”,他随机选取了其中30名,其中男女各15名,记录了他们某一天的走路步数,统计数据如下表所示:
男 | 0 | 2 | 4 | 7 | 2 |
女 | 1 | 3 | 7 | 3 | 1 |
(Ⅰ)以样本估计总体,视样本频率为概率,在小明朋友圈里的男性好友中任意选取3名,其中走路步数低于7500步的有
名,求
的分布列和数学期望;
(Ⅱ)如果某人一天的走路步数超过7500步,此人将被“运动”评定为“积极型”,否则为“消极型”.根据题意完成下面的
列联表,并据此判断能否有
以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关?
积极型 | 消极型 | 总计 | |
男 | |||
女 | |||
总计 |
附:.
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.01 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在极坐标系中,已知圆的圆心为
,半径为
.以极点为原点,极轴方向为
轴正半轴方向,利用相同单位长度建立平面直角坐标系,直线
的参数方程为
(
为参数,
且
).
(Ⅰ)写出圆的极坐标方程和直线
的普通方程;
(Ⅱ)若直线与圆
交于
、
两点,求
的最小值.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com