【题目】已知抛物线:
的焦点为
,准线为
,
与
轴的交点为
,点
在抛物线
上,过点
作
于点
,如图1.已知
,且四边形
的面积为
.
(1)求抛物线的方程;
(2)若正方形的三个顶点
,
,
都在抛物线
上(如图2),求正方形
面积的最小值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)通过借助抛物线的几何性质,设,通过勾股定理可求得
,借助线段关系可求得
,再借助梯形
面积公式最终可求得
值,进而求得抛物线
的方程;(2)先通过设而不求得方法分别表示出
,
,
和直线
的斜率为
和
的斜率
,通过正方形的边长关系代换出
与直线
的斜率
的关系,将面积用含
的式子整体代换表示,最终通过均值不等式处理可求得正方形
面积的最小值.
(1)设,
由已知,则,
,
四边形的面积为
,
∴,抛物线
的方程为:
.
(2)设,
,
,直线
的斜率为
.
不妨,则显然有
,且
.
∵,∴
.
由得
即,
即.
将,
代入得
,
∴,
∴.
故正方形面积为
.
∵,∴
(当且仅当
时取等).
又∵,
∴,
∴(当且仅当
时取等).从而
,
当且仅当时取得最小值
.
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【题目】在四棱锥中,平面
平面
,
,
,
,
,
,
.
(1)求证:平面
;
(2)求二面角的正弦值;
(3)在棱上是否存在点
,使得
平面
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】对于函数f(x),若f(x)的图象上存在关于原点对称的点,则称f(x)为定义域上的“伪奇函数”.
(1)若f(x)=ln(2x+1)+m是定义在区间[﹣1,1]上的“伪奇函数”,求实数m的取值范围;
(2)试讨论f(x)=4x﹣m2x+2+4m2﹣3在R上是否为“伪奇函数”?并说明理由.
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【题目】如图所示,已知AB为圆O的直径,且AB=4,点D为线段AB上一点,且,点C为圆O上一点,且
.点P在圆O所在平面上的正投影为点D,PD=DB.
(1)求证:CD⊥平面PAB;
(2)求直线PC与平面PAB所成的角.
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【题目】在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:(a>0),过点P(-2,-4)的直线l的参数方程为
(t为参数),l与C分别交于M,N.
(1)写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程;
(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.
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【题目】已知函数,且
.
(1)判断并证明在区间
上的单调性;
(2)若函数与函数
在
上有相同的值域,求
的值;
(3)函数,若对于任意
,总存在
,使得
成立,求
的取值范围.
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